发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-12 07:30:00
| 试题原文 |
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（Ⅰ）因为f(x)=
①当-1≤x≤1时，f'（x）=-x（3x-2），解f'（x）＞0得到0＜x＜
从而f（x）在x=
又f（-1）=2，f（1）=0，所以f（x）在[-1，1）上的最大值为2．…（4分） ②当1≤x≤e时，f（x）=alnx，当a≤0时，f（x）≤0；当a＞0时，f（x）在[1，e]上单调递增， 所以f（x）在[1，e]上的最大值为a． 所以当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．…（8分） （Ⅱ）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），且t≠1．…（9分） 因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以
即：-t2+f（t）?（t3+t2）=0（1）…（10分） 是否存在点P，Q等价于方程（1）是否有解． 若0＜t＜1，则f（t）=-t3+t2，代入方程（1）得：t4-t2+1=0，此方程无实数解．…（11分） 若t＞1，则f（t）=alnt，代入方程（1）得到：
设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′(x)=lnx+
所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0， 所以当a＞0时，方程
所以，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（15分） |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=-x3+x2，x＜1alnx，x≥1.（Ⅰ）求f（x）在[-1，e]（e为自然..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。