已知直线AB与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1y2=-p2．求证：直线AB经过抛物线的焦点．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线AB与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A（x1，y1），B（x2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知直线AB与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁y₂=-p²．求证：直线AB经过抛物线的焦点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：设直线AB的方程为：y=kx+b，
由

y=kx+b

y2=2px

，得（kx+b）²=2px，
整理，得k²x²+（2bk-2p）x+b²=0，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x1?x2=

b2

k2

，
∵y²=2px（p＞0），y₁y₂=-p²，
∴x1x2 =

y12

2p

?

y22

2p

=

p4

4p2

=

b2

k2

，
∴k=

2b

p

，或k=-

2b

p

，
∴y=

2b

p

x+b（舍）或y=-

2b

p

x+b，
当y=0时，x=

p

2

．
故直线AB经过抛物线的焦点F（

p

2

，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线AB与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A（x1，y1），B（x2..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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