椭圆X225+Y29=1上不同三点A(x1，y1)，B(4，95)，C(x2，y2)与焦点F（4，0）的距离成等差数列．（1）求证x1+x2=8；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．-数学试题及答案

1、试题题目：椭圆X225+Y29=1上不同三点A(x1，y1)，B(4，95)，C(x2，y2)与焦点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

椭圆

X2

25

+

Y2

9

=1上不同三点A(x1，y1)，B(4，

9

5

)，C(x2，y2)与焦点F（4，0）的距离成等差数列．
（1）求证x₁+x₂=8；
（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由椭圆方程知a=5，b=4，c=3．
由圆锥曲线的统一定义知：

|AF|

a2

c

-x1

=

c

a

，
∴|AF|=a-ex₁=5-

4

5

x₁．　　同理|CF|=5-

4

5

x₂．
∵|AF|+|CF|=2|BF|，且|BF|=

9

5

，
∴（5-

4

5

x₁）+（5-

4

5

x₂）=

18

5

，即x₁+x₂=8．
（2）因为线段AC的中点为（4，

y1+y2

2

），所以它的垂直平分线方程为
y-

y1+y2

2

=

x1-x2

y1-y2

（x-4）
又∵点T在x轴上，设其坐标为（x₀，0），代入上式x₀-4=

y

21

-

y

22

2(x1-x2)

，
又∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在椭圆上，
∴y₂²=

9

25

（25-x₂²）
∴y₁²-y₂²=-

9

25

（x₁+x₂）（x₁-x₂）．
将此式代入①，并利用x₁+x₂=8的结论得x0-4=-

36

25

，K_BT=

9

5

-0

4-x0

=

5

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“椭圆X225+Y29=1上不同三点A(x1，y1)，B(4，95)，C(x2，y2)与焦点..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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