设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-(12)n-1，n∈N．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列bn=（2n-15）an．（i）求数列{bn}的前n项和Tn；（ii）求bn的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-(12)n-1，n∈N．（Ⅰ）求数列{an}的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=2-(

1

2

)n-1，n∈N．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列b_n=（2n-15）a_n．
（i）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（ii）求b_n的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知，可得
①当n≥2时，a_n=Sn-Sn-1=2-(

1

2

)n-1-[2-(

1

2

)n-2]=(

1

2

)n-1 …（2分）
②当n=1时，a₁=S₁=1，也符合上式．…（3分）
综上所述，可得对任意的n∈N^*，{a_n}的通项公式是a_n=（

1

2

）^n-1 …（4分）
（Ⅱ）由（I）得b_n=（2n-15）a_n=（2n-15）（

1

2

）^n-1
（i）T_n=-13+（-11）?

1

2

+（-9）?（

1

2

）²+…+（2n-15）（

1

2

）^n-1
两边都乘以

1

2

，得

1

2

T_n=-13?

1

2

+（-11）?（

1

2

）²+（-9）?（

1

2

）³+…+（2n-15）（

1

2

）ⁿ …（6分）
两式相减，得

1

2

T_n=-13+2[

1

2

+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1]-（2n-15）（

1

2

）ⁿ …（8分）
即

1

2

T_n=-13+

1-

1

2n-1

1-

1

2

-（2n-15）（

1

2

）ⁿ=-11+（11-2n）?

1

2n

∴T_n=-22+（11-2n）?

1

2n-1

…（10分）
（ii）∵b_n+1-b_n=（2n-13）（

1

2

）ⁿ-（2n-15）（

1

2

）^n-1=（-2n+17）（

1

2

）ⁿ…（11分）
∴当n＜

17

2

时，得b_n+1-b_n＞0，且当n＞

17

2

时b_n+1-b_n＜0 …（12分）
由此可得：b₁＜b₂＜b₃…＜b₈＜b₉，且b₉＞b₁₀＞…，
∴b₉是{b_n}各项中最大值…（13分）
又∵b₉=3a₉=3×

1

28

=

3

256

．
因此，b_n的最大值为

3

256

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-(12)n-1，n∈N．（Ⅰ）求数列{an}的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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