已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*)．（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*)．（1）计算a1，a2，a3，a4；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*)．
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）计算得a1=

1

2

；a2=

1

6

；a3=

1

12

；a4=

1

20

．
（2）猜测：an=

1

n(n+1)

．下面用数学归纳法证明
①当n=1时，猜想显然成立．
②假设n=k（k∈N^*）时，猜想成立，
即ak=

1

k(k+1)

．
那么，当n=k+1时，S_k+1=1-（k+1）a_k+1，
即S_k+a_k+1=1-（k+1）a_k+1．
又Sk=1-kak=

k

k+1

，
所以

k

k+1

+ak+1=1-(k+1)ak+1，
从而ak+1=

1

(k+1)(k+2)

=

1

(k+1)[(k+1)+1]

．
即n=k+1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*)．（1）计算a1，a2，a3，a4；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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