设数列{xn}各项为正，且满足x12+x22+…xn2=2n2+2n．（1）求xn；（2）已知1x1+x2+1x2+x3+…+1xn+xn+1=3，求n；（3）证明：x1x2+x2x3+…xnxn+1＜2[（n+1）2-1]．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{xn}各项为正，且满足x12+x22+…xn2=2n2+2n．（1）求xn；（2）已..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

设数列{x_n}各项为正，且满足x₁²+x₂²+…x_n²=2n²+2n．
（1）求x_n；
（2）已知

1

x1+x 2

+

1

x2+x3

+…+

1

xn+xn+1

=3，求n；
（3）证明：x₁x₂+x₂x₃+…x_nx_n+1＜2[（n+1）²-1]．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵数列{x_n}各项为正，且满足x₁²+x₂²+…x_n²=2n²+2n．
∴x₁=2
当n，x_n²=2n²+2n-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，∴x_n=2

n

∵x₁=2也满足上式，∴x_n=2

n

（2 ）∵

1

xn+xn+1

=

1

2 (

n

+

n+1

)

=

1

2

(

n+1

-

n

)
∴

1

x1+x 2

+

1

x2+x3

+…+

1

xn+xn+1

=

1

2

(

n+1

-

1

)=3
∴n=48
（3）x_nx_n+1=2

n

2

n+1

=4

n

n+1

＜4

n+(n+1)

2

=4n+2
∴x₁x₂+x₂x₃+…x_nx_n+1＜（4×1+2）+（4×2+2）+…（4n+2）=

6+(4n+2)

2

n=2[（n+1）²-1]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{xn}各项为正，且满足x12+x22+…xn2=2n2+2n．（1）求xn；（2）已..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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