斜三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，AC=3，AB=BC=2，E、F分别是A1C1，AB的中点．（1）求证：EF∥平面BB1C1C；（2）求证：CE⊥面ABC．（3）求四棱锥-数学试题及答案

1、试题题目：斜三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C是菱形，∠A₁AC=60°，AC=3，AB=BC=2，E、F分别是A₁C₁，AB的中点．
（1）求证：EF∥平面BB₁C₁C；
（2）求证：CE⊥面ABC．
（3）求四棱锥E-BCC₁B₁的体积．

试题来源：广州三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：取BC中点M，连结FM，C₁M．在△ABC中，
∵F，M分别为BA，BC的中点，
∴FM∥AC，FM=

1

2

AC．
∵E为A₁C₁的中点，AC∥A₁C₁
∴FM∥EC₁且FM=EC₁，
∴四边形EFMC₁为平行四边形∴EF∥C₁M．
∵C₁M?平面BB₁C₁C，EF?平面BB₁C₁C，∴EF∥平面BB₁C₁C．
（2）证明：连接A₁C，∵四边形AA₁C₁C是菱形，∠A₁AC=60°
∴△A₁C₁C为等边三角形
∵E是A₁C₁的中点．∴CE⊥A₁C₁
∵四边形AA₁C₁C是菱形，∴A₁C₁∥AC．∴CE⊥AC．
∵侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，且交线为AC，CE?面AA₁C₁C
∴CE⊥面ABC
（3）连接B₁C，∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，所以四棱锥VE-BCC1B1=2VC-EC1B1
由第（2）小问的证明过程可知 EC⊥面ABC
∵斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∴面ABC∥面A₁B₁C₁．∴EC⊥面EB₁C₁
∵在直角△CEC₁中CC₁=3，EC1=

3

2

，∴EC=

3

2

∴S△B1EC1=

1

2

×

3

2

×

22-(

3

2

)2

=

3

7

8

∴四棱锥VE-BCC1B1=2VC-EC1B1=2×

1

3

×

3

7

8

×

3

2

=

3

21

8

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“斜三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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