将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容-数学试题及答案

1、试题题目：将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设小正方形的边长为x，则盒底的边长为a-2x，
由于a-2x也要＞0，则x∈（0，

a

2

），
且方盒是以边长为a-2x的正方形作底面，高为x的正方体，
其体积为V=x(a-2x)2，(x∈(0，

a

2

))
V'=（a-2x）（a-6x），令V'=0，则x1=

a

2

，x2=

a

6

，
由x1=

a

2

?(0，

a

2

)，且对于x∈(0，

a

6

)，V′＞0，x∈(

a

6

，

a

2

)，V′＜0，
∴函数V在点x=

a

6

处取得极大值，由于问题的最大值存在，
∴V（

a

6

）=

2a3

27

即为容积的最大值，此时小正方形的边长为

a

6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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