不等式ln(1+x)-14x2≤M恒成立，则M的最小值为_____

1、试题题目：不等式ln(1+x)-14x2≤M恒成立，则M的最小值为______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

不等式ln(1+x)-

1

4

x2≤M恒成立，则M的最小值为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

令f（x）=ln(1+x)-

1

4

x2，则问题转化为M大于等于f（x）的最大值．
f′(x)=

1

1+x

-

1

2

x，
令

1

1+x

-

1

2

x=0，
化简为x²+x-2=0，解得x₁=-2（舍去），x₂=1．
当-1＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调增加；
当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调减少．
所以 f(1)=ln2-

1

4

为函数f（x）的极大值．
又因为f（0）=0，f（2）=ln3-1＞0，f（1）＞f（2），
所以f(1)=ln2-

1

4

为函数f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴M≥In2-

1

4

．
则M的最小值为In2-

1

4

．
故答案为：In2-

1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“不等式ln(1+x)-14x2≤M恒成立，则M的最小值为______．”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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