设函数f（x）=（ax-1）ex+（1-a）x+1．（I）证明：当a=0时，f（x）≤0；（II）设当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=（ax-1）ex+（1-a）x+1．（I）证明：当a=0时，f（x）≤0；（II）设..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（ax-1）e^x+（1-a）x+1．
（I）证明：当a=0时，f（x）≤0；
（II）设当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：当a=0时，f（x）=-e^x+x+1，则f′（x）=-e^x+1
令f′（x）=0，可得x=0
令f′（x）＜0，可得x＜0，令f′（x）＞0，可得x＞0
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）单调递减
∴f（x）_max=f（0）=0
∴f（x）≤0；
（II）f′（x）=-（ax+a-1）e^x+1-a，f（0）=f′（0）=0，
设g（x）=f′（x），则g′（x）=（ax+2a-1）e^x，
①a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵f′（0）=0，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴f（x）＜f（0）=0与已知矛盾；
②当0＜a＜

1

2

，x∈（0，

1

a

-2）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，

1

a

-2）上为减函数，此时f′（x）＜0，∴f（x）在（0，

1

a

-2）上为减函数，∴f（x）＜f（0）=0与已知矛盾；
③当a≥

1

2

，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，即f′（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f′（x）≥f′（0）=0
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=0，不等式成立
综上，a≥

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（ax-1）ex+（1-a）x+1．（I）证明：当a=0时，f（x）≤0；（II）设..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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