已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，则m的取值范围是_____

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）若对任意的a∈[3，6]..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，则m的取值范围是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

求导函数可得：f′（x）=3x²+2ax-a²，
令f′（x）=0，即（3x-a）（x+a）=0，所以x=-a或x=

a

3

∵a∈[3，6]，x∈[-2，2]，
令导数大于0可得x＜-a或x＞

a

3

，令导数小于0可得-a＜x＜

a

3

，又-a≤-3，

a

3

∈[1，2]
∴极大值点不在取值范围内，而极小值点在取值范围内．
∴要使不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只要保证x=-2与x=2时的函数值f（x））≤1就可以了．
∵f（-2）=-8+4a+2a²+m，f（2）=8+4a-2a²+m，a∈[3，6]，
作差比较得f（-2）＞f（2）
∴只要f（-2）≤1即可
即：）=-8+4a+2a²+m≤1，m≤-2a²-4a+9
由a∈[3，6]得，-2a²-4a+9的最小值为-87
∴m≤-87

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）若对任意的a∈[3，6]..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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