发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-12 07:30:00
试题原文 |
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(1)对函数f(x)求导数:f'(x)=(xlnx)'+[(1-x)ln(1-x)]'=lnx-ln(1-x).于是f′(
当x<
当x>
所以f(x)在x=
(2)用数学归纳法证明. (i)当n=1时,由(1)知命题成立. (ii)假定当n=k时命题成立,即若正数p1,p2,…,p2k满足p1+p2+…+p2k=1, 则p1log2p1+p2log2p2+…+p2klog2p2k≥-k. 当n=k+1时,若正数p1,p2,…,p2k+1满足p1+p2+…+p2k+1=1, 令x=p1+p2+…+p2k,q1=
则q1,q2,…,q2k为正数,且q1+q2+…+q2k=1. 由归纳假定知q1lnp1+p2lnp2+…+q2klnq2k≥-k.p1lnp1+p2lnp2+…+p2klnp2k=x(q1lnq1+q2lnq2+…+q2klnq2k+lnx)≥x(-k)+xlnx,① 同理,由p2k+1+p2k+2+…+p2k+1=1-x可得p2k+1lnp2k+1+…+p2k+1lnp2k+1≥(1-x)(-k)+(1-x)n(1-x).② 综合①、②两式p1lnp1+p2lnp2+…+p2k+1lnp2k+1≥[x+(1-x)](-k)+xlnx+(1-x)ln(1-x) ≥-(k+1). 即当n=k+1时命题也成立. 根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“(1)设函数f(x)=xlnx+(1-x)ln(1-x)(0<x<1),求f(x)的最小值;(2)设..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的最值与导数的关系”。