已知函数f（x）=12x2+lnx-1．（1）求函数f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底）上的最大值和最小值；（2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=23x3的图象的下方；（3）求证-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12x2+lnx-1．（1）求函数f（x）在区间[1，e]（e为自然对数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

x²+ln x-1．
（1）求函数f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底）上的最大值和最小值；
（2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x³的图象的下方；
（3）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2 （n∈N^*）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′（x）=x+

1

x

，
当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[1，e]上为增函数、
∴f（x）_max=f（e）=

1

2

e²，f（x）_min=f（1）=-

1

2

、
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+lnx-1-

2

3

x³，
则F′（x）=x+

1

x

-2x²=

x2+1-2x3

x

=

(1-x)(x+1+2x2)

x

∵当x＞1，时F′（x）＜0，
∴函数F（x）在区间（1，+∞）上为减函数，
∴F（x）＜F（1）=

1

2

-1-

2

3

＜0，
即在（1，+∞）上，f（x）＜g（x）、
∴在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x³的图象的下方、
（3）证明：∵f′（x）=x+

1

x

，当n=1时，不等式显然成立
当n≥2时，利用基本不等式得：
[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=（x+

1

x

）ⁿ-（xn+

1

xn

）≥2ⁿ-2（当且仅当x=1时“=”成立）
∴当n≥2时，不等式成立、
综上所述得[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2，（n∈N^*）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12x2+lnx-1．（1）求函数f（x）在区间[1，e]（e为自然对数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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