正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=1an?an+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜12．-数学试题及答案

1、试题题目：正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且2

Sn

=an+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1

an?an+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＜

1

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵2

S1

=a1+1，
∴a₁=1．
∵a_n＞0，2

Sn

=an+1，
∴4S_n=（a_n+1）²．①
∴4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2）．②
①-②，得4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
而a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）．
故数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
T_n=b₁+b₂++b_n=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)++

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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