给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列a1，a2，a3，…．，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列a1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件a12+an+12≤M 的所有等差数列 a₁，a₂，a₃，…．，试求 S=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设公差为d，a_n+1=a，
则S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1是以a_n+1=a为首项，d为公差的等差数列的前（n+1）项和，
所以S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+

n(n+1)

2

d．
同除以（n+1），得 a+

nd

2

=

S

n+1

．
则M≥a12+an+12=(α-nd)2+a2=

4

10

(a+

nd

2

)2+

1

10

(4a-3nd)2≥

4

10

(

S

n+1

)2
因此|S|≤

10

2

（n+1）

M

，
且当 a=

3

10

M

，d=

4

10

?

1

n

M

时，
S=（n+1）〔

3

10

M

+

n

2

?

4

10

?

1

n

M

〕
=（n+1）

5

10

M

=

10

2

（n+1）

M

由于此时4a=3nd，故 a12+an+12=

4

10

(

S

n+1

)2=

4

10

?

10

4

M=M．
所以，S的最大值为

10

2

（n+1）

M

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列a1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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