过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2；…；依此下去，得-数学试题及答案

1、试题题目：过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂；…；依此下去，得到一系列点M₁，M₂，…M_n，…；设它们的横坐标a₁，a₂，…，
a_n…构成数列为{a_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：an≥1+

n

k-1

；
（Ⅲ）当k=2时，令bn=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

试题来源：聊城一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）对y=x^k求导数，
得y′=kx^k-1，
点是M_n（a_n，a_n^k）的切线方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．…（2分）
当n=1时，切线过点P（1，0），
即0-a₁^k=ka₁^k-1（1-a₁），
得a1=

k

k-1

；
当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），
即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），
得

an

an-1

=

k

k-1

．
所以数列{a_n}是首项a1=

k

k-1

，公比为

k

k-1

的等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式为an=(

k

k-1

)n，n∈N*．…（4分）
（ II）应用二项式定理，得an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n=

C

0n

+

C

1n

1

k-1

+

C

2n

(

1

k-1

)2+…+

C

nn

(

1

k-1

)n≥1+

n

k-1

．…（8分）
（ III）当k=2时，a_n=2ⁿ，
数列{b_n}的前n项和S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
同乘以

1

2

，得

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
两式相减，…（10分）
得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1

2

(1-

1

2n

)

1-

1

2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
所以S_n=2-

n+2

2n

．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：