数列{an}的前n项和为Sn，Sn+an=-12n2-32n+1（n∈N*）（Ⅰ）设bn=an+n，证明：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{nbn}的前n项和Tn；（Ⅲ）若cn=(12)n-an，dn=1+1cn2+1cn+12，P=d1+d2+d3+…+-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的前n项和为Sn，Sn+an=-12n2-32n+1（n∈N*）（Ⅰ）设bn=an+n，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+a_n=-

1

2

n2-

3

2

n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若cn=(

1

2

)n-an，d_n=

1+

1

cn2

+

1

cn+12

，P=d₁+d₂+d₃+…+d₂₀₁₃，求不超过P的最大整数的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为S_n+a_n=-

1

2

n2-

3

2

n+1（n∈N^*）
所以 ①当n=1时，2a₁=-1，则a₁=

1

2

，…．（1分）
②当n≥2时，S_n-1+a_n-1=-

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)+1
，…．（2分）
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
所以b_n=

1

2

b_n-1（n≥2），而b₁=a₁+1=

1

2

，…．（3分）
所以数列数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，所以b_n=（

1

2

）ⁿ
（Ⅱ）由（Ⅰ）得nb_n=

n

2n

．
所以 ①Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

②2Tn=1+

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

…．（6分）
②-①得：Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

…．（7分）Tn=

1-(

1

2

)n

1-

1

2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a n=(

1

2

)n-n∴c_n=n…（9分）
而d_n=

1+

1

n2

+

1

(n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2

n2(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

…（11分）
所以P=(1+

1

-

1

2

)+(1+

1

2

-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

4

)+…+(1+

1

2013

-

1

2014

)=2014-

1

2014

，
故不超过P的最大整数为2013．…..（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的前n项和为Sn，Sn+an=-12n2-32n+1（n∈N*）（Ⅰ）设bn=an+n，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：