已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，公比q=2，且a2b2=20，a3b3=56，（1）求an与bn（2）求数列{anbn}的前n项和Tn（3）记Cn=1Sn-n，若C1+C2+C3+…+-数学试题及答案

1、试题题目：已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，公比q=2，且a₂b₂=20，a₃b₃=56，
（1）求a_n与b_n
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n
（3）记C_n=

1

Sn-n

，若C₁+C₂+C₃+…+C_n≥m²-

3

2

对任意正整数n恒成立，求实数m 的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设{a_n}的公差为d，则

(3+d)?2b1=20

(3+2d)?4b1=56

，解之得b₁=d=2
∴数列{a_n}的通项为a_n=3+2（n-1）=2n+1；数列{b_n}的通项为b_n=2ⁿ
（2）由（1）得a_nb_n=（2n+1）2ⁿ
∴T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）2ⁿ
两边都乘以2，得2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
两式相减，得
-T_n=6+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）2ⁿ⁺¹，
=6+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n+1）2ⁿ⁺¹=-2+（1-2n）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n+1）2ⁿ⁺¹+2
（3）S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n
∴C_n=

1

Sn-n

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

由此可得C₁+C₂+C₃+…+C_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

因此，当n=1时，C₁+C₂+C₃+…+C_n的最小值为

1

2

∵不等式C₁+C₂+C₃+…+C_n≥m²-

3

2

对任意正整数n恒成立，
∴

1

2

≥m²-

3

2

，解之得-

2

≤m≤

2

，即实数m的取值范围是[-

2

，

2

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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