已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=12（3n+Sn）对一切正整数n成立（I）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（II）设bn=n3an，求数列{bn}的前n项和Bn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=12（3n+Sn）对一切正整数n成立（I..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n）对一切正整数n成立
（I）证明：数列{3+a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=

n

3

an，求数列{b_n}的前n项和B_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由已知得S_n=2a_n-3n，
S_n+1=2a_n+1-3（n+1），两式相减并整理得：a_n+1=2a_n+3
所以3+a_n+1=2（3+a_n），又a₁=S₁=2a₁-3，a₁=3可知3+a₁=6≠0，进而可知a_n+3≠0
所以

3+an+1

3+an

=2，故数列{3+a_n}是首相为6，公比为2的等比数列，
所以3+a_n=6?2^n-1，即a_n=3（2ⁿ-1）
（II）b_n=n（2ⁿ-1）=n2ⁿ-n
设T_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ（1）2T_n=1×2²+2×2³++（n-1）2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹（2）
由（2）-（1）得T_n=-（2+2²+2³++2ⁿ）+n2ⁿ⁺¹=-

2-2n+1

1-2

+n2n+1=2+(n-1)2n+1∴Bn=Tn-(1+2+3++n)=2+(n-1)2n+1-

n(n+1)

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=12（3n+Sn）对一切正整数n成立（I..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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