对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为{an}的“差数列”．（I）若{an}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{an}的一个通项公式；（II）若a1=2，{an}的“差数列”的通项为2n，求-数学试题及答案

1、试题题目：对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为{an}的“差数列”．（I）若{an}的“..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

对于数列{a_n}，定义数列{a_n+1-a_n}为{a_n}的“差数列”．
（I）若{a_n}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{a_n}的一个通项公式；
（II）若a₁=2，{a_n}的“差数列”的通项为2ⁿ，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）对于（II）中的数列{a_n}，若数列{b_n}满足a_nb_nb_n+1=-21?2⁸（n∈N^*），且b₄=-7．
求：①数列{b_n}的通项公式；②当数列{b_n}前n项的积最大时n的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）如a_n=n²．（答案不惟一，结果应为a_n=An²+Bn+C的形式，其中A≠0）（3分）
（Ⅱ）依题意a_n+1-a_n=2ⁿ，n=1，2，3，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）++（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+2^n-3++2=2ⁿ．（5分）
从面{a_n}是公比数为2的等比数列，
所以Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2.（7分）
（Ⅲ）由a_nb_nb_n+1=-21?2ⁿ及a_n-1b_n-1b_n=-21?2ⁿ，两式相除得

bn+1

bn-1

=

1

2

，
所以数列{b_2n-1}，{b_2n}分别是公比为

1

2

的等比数列
由b₄=-7得b₂=-14．
令n=1，由a₁b₁b₂=-21?2ⁿ得b₁=3?2⁶．
所以数列{b_n}的通项为bn=

3?26?(

1

2

)

n-1

2

(n≥1，且n是奇数)

-14?(

1

2

)

n

2

-1(n≥2，且n是偶数)

（10分）
②记数列{b_n}前n项的积为T_n．
令|bnbn+1|＜1，得|-2|?(

1

2

)n-8|＜1，
即(

1

2

)n-1＜

1

21

，解得n≥13.
所以当n是奇数时，|b₁b₂|＞1，|b₃b₄|＞1，，|b₁₁b₁₂|＞1，|b₁₃b₁₄|＜1，|b₁₅b₁₆|＜1，
从而|T₂|＜|T₄|＜|T₁₂|，|T₁₂|＞|T₁₄|＞．
当n是偶数时，|b₂b₃|＞1，|b₄b₅|＞1，，|b₁₂b₁₃|＞1，|b₁₄b₁₅|＜1，|b₁₆b₁₇|＜1，
从而|T₁|＜|T₃|＜|T₁₃|，|T₁₃|＞|T₁₅|．
注意到T₁₂＞0，T₁₃＞0，且T₁₃=b₁₃T₁₂=3T₁₂＞T₁₂，
所以当数列{b_n}前n项的积T_n最大时n=13．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为{an}的“差数列”．（I）若{an}的“..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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