已知一系列的抛物线Cn的方程为y=anx2（n∈N*，an＞1），过点An（n，ann2）作该抛物线Cn的切线ln与y轴交于点Bn，Fn是Cn的焦点，△AnBnFn的面积为n3（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证-数学试题及答案

1、试题题目：已知一系列的抛物线Cn的方程为y=anx2（n∈N*，an＞1），过点An（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知一系列的抛物线C_n的方程为y=a_nx²（n∈N^*，a_n＞1），过点A_n（n，a_nn²）作该抛物线C_n的切线l_n与y轴交于点 B_n，F_n是 C_n的焦点，△A_nB_nF_n的面积为n³
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：1+

3

2

≤a_n＜2；
（3）设b_n=2a_n-a_n²，求证：当n≥1时，b1+

2

b2+

3

b3+…+

n

bn＜

3

4

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）A_n（n，a_nn²）在抛物线C_n上，
∵y=a_nx²，
∴y^′=2a_nx，
则切线l_n的斜率为2a_nn，
切线方程为 y-a_nn²=2 a_nn（x-n）…（2分）
令x=0，得y=-a_nn²，，
∴B_n（0，-a_nn²），
又F_n（0，

1

4an

）
∴S_△AnBnFn=

1

2

（

1

4an

+a_nn²）n=n³
∴

1

4an

+a_nn²=2n²，即4n²a_n²-8n²a_n+1=0，…（3分）
∴△=64n⁴-16n²=16n²（4n²-1）＞0，
∵a_n＞1，
∴a_n=1+

1

2n

4n2-1

…（4分）
（2）证明：∵a_n=1+

1

2n

4n2-1

=1+

1-

1

4n2

，
{a_n}为递增数列，
∴a_n≥1+

1-

1

4

=1+

3

2

．…（6分）
又a_n＜1+

1

=2，
∴1+

3

2

≤a_n＜2．…（8分）
（3）．证明：bn=2an-

a

2n

=

1

4n2

…（9分）
∴b1+

2

b2+

3

b3+…+

n

bn=

1

4

(

1

12

+

2

22

+

3

32

+…+

n

n2

)
∵k≥2时，

k

k2

=

1

k

?

k

?

k

=

2

(

k

+

k

)

k

?

k

＜

2

(

k

+

k-1

)

k

?

k-1

=

2(

k

-

k-1

)

k

?

k-1

=2(

1

k-1

-

1

k

)…（12分）
∴b1+

2

b2+

3

b3+…+

n

bn≤

1

4

[1+2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

k-1

-

1

k

)]
=

1

4

[1+2(1-

1

n

)]=

1

4

(3-

2

n

)＜

3

4

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知一系列的抛物线Cn的方程为y=anx2（n∈N*，an＞1），过点An（..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：