已知数列{an}，{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=（n-1）?2n+1．（1）若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}是-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}，{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）?2ⁿ+1．
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；
（3）求证：

n

i=1

1

aibi

＜

3

2

．

试题来源：佛山二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）?2ⁿ+1．
所以a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）?2^n-1+1．
两式相减 a_nb_n=（2n-2-n+2）?2^（n-1）₌n?2^（n-1）
因为{b_n} 数列是首项为1，公比为2的等比数列则bn=2^（n-1）
所以a_n=n （2）{an}是等差数列 a_nb_n=（2n-2-n+2）?2^（n-1）₌n?2^（n-1）所以 a_n=

n?2n-1

bn

，
an-1=

(n-1)?2n-2

bn-1

，
an-2=

(n-2)?2n-3

bn-2

，
{an}是等差数列 2a_（n-1）=a_（n-2）+a_n 即）2

(n-1)?2n-2

bn-1

=

(n-2)?2n-3

bn-2

+

n?2n-1

bn

4(n-1)

bn-1

=

(n-2)

bn-2

+

4n

bn

若{bn}是等比数列，
则b_（n-1） ²=b_（n-2）?b_n 两式显然不合
所以数列{b_n}不是等比数列
（3）aibi=i?2^（i-1）所以

1

aibi

=

1

i?2i-1

所以

n

i=1

1

aibi

=

1

1×20

+

1

2×2

+

1

3×23

+…+

1

n?2n-1

＜1+

1

4

+

1

23

+…+

1

2n-1

=1+

1

4

-

1

2n

1-

1

2

=

3

2

-

1

2n-1

＜

3

2

得证．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}，{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：