已知函数f（x）=12x2+lnx（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；（2）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=23x3图象的下方．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12x2+lnx（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

x²+lnx
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x³图象的下方．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（x）=

1

2

x²+lnx有f′（x）=x+

1

x

（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴f_max（x）=f（e）=

1

2

e²+1，
f_max（x）=f（1）=

1

2

（6分）
（2）设F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，
则F′（x）=x+

1

x

-2x²=

(1-x)(1+x+2x 2)

x

当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=-

1

6

＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³，得证（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12x2+lnx（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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