某公司为了实现2013年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案；从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单-数学试题及答案

1、试题题目：某公司为了实现2013年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

某公司为了实现2013年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案；从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%．现有三个奖励模型：y=0.025x，y=1.003x，y=

1

2

lnx+1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．（参考数据：1.003⁶⁰⁰≈6，e≈2.70828…，e⁸≈2981）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x?25%…（2分）
对于y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5，不满足公司的要求；…（4分）
对于y=1.003^x，易知满足①，∵1.003⁶⁰⁰≈6，故当x＞600时，不满足公司的要求；…（6分）
对于y=

1

2

lnx+1，易知满足①，当x∈[10，1000]时时，y≤

1

2

ln1000+1…（7分）
下面证明

1

2

ln1000+1＜5．
∵e⁸≈2981，
∴

1

2

ln1000+1-5=

1

2

ln1000-4=

1

2

（ln1000-8）=

1

2

（ln1000-ln2981）＜0，满足②…（8分）
再证明

1

2

lnx+1≤x?25%，即2lnx+4-x≤0，…（9分）
设F（x）=2lnx+4-x，则F′（x）=

2

x

-1=

2-x

x

＜0，x∈[10，1000]…（10分）
∴F（x）在[10，1000]上为减函数，F（x）_max=F（10）=2ln10+4-10=2ln10-6=2（ln10-3）＜0，满足③…（12分）
综上，奖励模型y=

1

2

lnx+1能完全符合公司的要求…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“某公司为了实现2013年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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