若（ax+2b）6的展开式中x3与x4的系数之比为4：3，其中a＞0，b≠0（1）当a=1时，求（ax+2b）6的展开式中二项式系数最大的项；（2）令F(a，b)=b3+16a，求F（a，b）的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：若（ax+2b）6的展开式中x3与x4的系数之比为4：3，其中a＞0，b≠0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

若（ax+2b）⁶的展开式中x³与x⁴的系数之比为4：3，其中a＞0，b≠0
（1）当a=1时，求（ax+2b）⁶的展开式中二项式系数最大的项；
（2）令F(a，b)=

b3+16

a

，求F（a，b）的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）（ax+2b）⁶的展开式中含x³的项为

C

36

(ax)3(2b)3，
故其系数为8

C

36

a3b3=160a³b³，
含x⁴的项为

C

46

(ax)4(2b)2，系数为4

C

46

a4b2=60a⁴b²，
故可得

160a3b3

60a4b2

=

4

3

，解得a=2b，
所以当a=1时，（ax+2b）⁶=（x+1）⁶展开式中二项式系数最大的项为：
T₄=

C

36

x3=20x³
（2）由a=2b＞0，F(a，b)=

b3+16

a

=

b2

2

+

8

b

，
构造函数F（x）=

x2

2

+

8

x

，x＞0
求导数可得F′（x）=x-

8

x2

，
令F′（x）＞0，可解得x＞2，令F′（x）＜0，可解得0＜x＜2，
故函数F（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，
故可得F（a，b）的最小值为F（2）=6

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若（ax+2b）6的展开式中x3与x4的系数之比为4：3，其中a＞0，b≠0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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