设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[12，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（I）如果存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（II）如果对于任意的s、t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..

试题来源：马鞍山二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于g（x）_max-g（x）_min≥M
∵g（x）=x³-x²-3，∴g′(x)=3x(x-

2

3

)
∴g（x）在（0，

2

3

）上单调递减，在（

2

3

，2）上单调递增
∴g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1
∴g（x）_max-g（x）_min=

112

27

∴满足的最大整数M为4；
（II）对于任意的s、t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）_max．
由（I）知，在[

1

2

，2]上，g（x）_max=g（2）=1
∴在[

1

2

，2]上，f（x）=

a

x

+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立
记h（x）=x-x²lnx，则h′（x）=1-2xlnx-x且h′（1）=0
∴当

1

2

＜x＜1时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0
∴函数h（x）在（

1

2

，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=1
∴a≥1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：