已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-ax（a∈R）．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（2）a=3时，求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；（3）设an=1+1n（n∈N*），求证：3(a1+a2+…+an)-a21-a2-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-ax（a∈R）．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²-ax（a∈R）．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（2）a=3时，求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（3）设an=1+

1

n

（n∈N^*），求证：3(a1+a2+…+an)-

a

21

-

a

22

-…-

a

2n

＜ln(n+1)+2n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=lnx，f′(x)=

1

x

，f'（1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=1（x-1），即x-y-1=0．…（4分）
（2）F（x）=lnx+x²-3x，F′(x)=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

…（6分）
由F′(x)＞0?0＜x＜

1

2

或x＞1，F'（x）＜0?

1

2

＜x＜1，…（8分）
所以函数F（x）=f（x）+g（x）的单调增区间为(0，

1

2

)，(1，+∞)；减区间为(

1

2

，1)…（9分）
（3）由（2）知a=3时，F（x）=lnx+x²-3x在（1，+∞）上是增函数．
所以F(1+

1

n

)＞F(1)=-2．
所以ln(1+

1

n

)+(1+

1

n

)2-3(1+

1

n

)＞-2．
所以3(1+

1

n

)-(1+

1

n

)2＜2+ln(1+

1

n

)．
即3an-

a

2n

＜2+ln(1+

1

n

)． …（12分）
所以3a1-

a

21

＜2+ln(1+1)，3a2-

a

22

＜2+ln(1+

1

2

)，3a3-

a

23

＜2+ln(1+

1

3

)，
…3an-

a

2n

＜2+ln(1+

1

n

)．
所以3(a1+a2+…+an)-

a

21

-

a

22

-…-

a

2n

=(3a1-

a

21

)+(3a2-

a

22

)+…+(3an-

a

2n

)＜(2+ln

2

1

)+(2+ln

3

2

)+…+(2+ln

n+1

n

)＜2n+ln（n+1）．
故所证不等式成立． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-ax（a∈R）．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：