已知函数f（x）=13x3-a2x+12a（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=13x3-a2x+12a（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

3

x³-a2x+

1

2

a（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

试题来源：昌平区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当a=1时，f（x）=

1

3

x3-x+

1

2

，f′（x）=x²-1，
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=1，
列表：

x

0

（0，1）

1

（1，2）

2

f′（x）

-1

-

0

+

3

f（x）

1

2

↘

-

1

6

↗

7

6

∴当x∈[0，2]时，f（x）最大值为f（2）=

7

6

．
（Ⅱ）f′（x）=x²-a²=（x-a）（x+a），令f′（x）=0，得x₁=-a，x₂=a，
①若a＜0，在（0，-a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（-a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以，f（x）在x=-a时取得最小值f（-a）=-

1

3

a3+a3+

a

2

=a（

2

3

a2+

1

2

），
因为a＜0，

2

3

a2+

1

2

＞0，所以f（-a）=a（

2

3

a2+

1

2

）＜0．
所以当a＜0时，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0不成立；
②若a=0，f′（x）=x²≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以当a=0时，有f（x）＞f（0）=0；
③若a＞0，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以，f（x）在x=a时取得最小值f（a）=

1

3

a3-a3+

a

2

=-a（

2

3

a2-

1

2

），
令f（a）=-a（

2

3

a2-

1

2

）＞0，由a＞0，得

2

3

a2-

1

2

＜0，0＜a＜

3

2

，
所以当0＜a＜

3

2

时，对任意x＞0，f（x）＞0都成立．
综上，a的取值范围是[0，

3

2

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=13x3-a2x+12a（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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