定义在（0，+∞）上的函数f(x)=px1p-x(p∈Q，且p＞1)．（1）求函数f（x）的最大值；（2）对于任意正实数a、b，设1p+1q=1，证明：ab≥app+bqq．-数学试题及答案

1、试题题目：定义在（0，+∞）上的函数f(x)=px1p-x(p∈Q，且p＞1)．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

定义在（0，+∞）上的函数f(x)=px

1

p

-x(p∈Q，且p＞1)．
（1）求函数f（x）的最大值；（2）对于任意正实数a、b，设

1

p

+

1

q

=1，证明：ab≥

ap

p

+

bq

q

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=x

1

p

-1-1．∵

1

p

-1＜0，∴由f'（x）=0，得x=1．
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大	↘

又f（1）=p-1，所以f（x）≤f（1），即f（x）的最大值为p-1．
（2）由（1）得px

1

p

-x-p+1≤0．
设x=

ap

bq

，则p?

a

b

q

p

-

ap

bq

-p+1≤0，即

a

b

q

p

-

1

p

?

ap

bq

-1+

1

p

≤0，
∴

a

b

q

p

-

1

p

?

ap

bq

≤1-

1

p

=

1

q

，
∴

a

b

q

p

≤

1

p

?

ap

bq

+

1

q

∴abq-

q

p

≤

ap

p

+

bq

q

，
将

1

p

+

1

q

=1代入，得ab≤

ap

p

+

bq

q

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在（0，+∞）上的函数f(x)=px1p-x(p∈Q，且p＞1)．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：