已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个命题如下：①当a=2，m=0时，直线l与图-数学试题及答案

1、试题题目：已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-26 07:30:00

试题原文

已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个命题如下：
①当a=2，m=0时，直线l与图象G恰有3个公共点；
②当a=3，m=

1

4

时，直线l与图象G恰有6个公共点；
③?m∈（1，+∞），?a∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．
其中正确命题的序号是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

试题来源：丰台区二模试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：真命题、假命题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设x∈[0，2），则-x∈（-2，0]，故f（-x）=x（2-x），
由函数为偶函数可知，当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x），
故当x∈[0，+∞）时，f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2)

(x-2)(a-x)，x∈[2，+∞)

，
①当a=2，m=0时，x∈[0，+∞）时，f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2)

-(x-2)2，x∈[2，+∞)

，
令其等于0可得，x=0，或x=2，由函数图象的对称性可知，
此时直线l与图象G恰有3个公共点-2，0，2，故①正确；
②当a=3，m=

1

4

时，x∈[0，+∞）时，f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2)

(x-2)(3-x)，x∈[2，+∞)

，
令其等于

1

4

可得x=

2-

3

2

，或x=

2+

3

2

，或x=

5

2

，由函数图象的对称性可知，
此时直线l与图象G恰有6个公共点-

2-

3

2

，-

2+

3

2

，-

5

2

，

2-

3

2

，

2+

3

2

，

5

2

，故②正确；
③?m∈（1，+∞），令f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2)

(x-2)(a-x)，x∈[2，+∞)

=m，
∵当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x）=-（x-1）²+1≤1，
故只能让（2-x）（a-x）=m，（m＞1），当△=（a-2）²-4m＞0，
即（a-2）²＞4，即a＞4，或a＜0时，
可解得x=

a+2-

(a-2)2-4m

2

，或x=

a+2+

(a-2)2-4m

2

，
故由函数图象的对称性可知直线l与图象G交于4个点，由小到大排列为：x₁=-

a+2+

(a-2)2-4m

2

，
x₂=-

a+2-

(a-2)2-4m

2

，x₃=

a+2-

(a-2)2-4m

2

，x₄=

a+2+

(a-2)2-4m

2

，
而x₄-x₃=

(a-2)2-4m

，x₃-x₂=a+2-

(a-2)2-4m

，
由x₃-x₂=x₄-x₃，化简可得3a²-20a+12=16m＞16，解得a＜

10-2

22

3

，或a＞

10+2

22

3

，
故可取a=8＞

10+2

22

3

，当然满足a∈（4，+∞），使距离相等，
故对?m∈（1，+∞），?a=8∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．
故选D

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞..”的主要目的是检查您对于考点“高中真命题、假命题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中真命题、假命题”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：