已知双曲线C1的渐近线方程是y=±33x，且它的一条准线与渐近线y=33x及x轴围成的三角形的周长是32(1+3)．以C1的两个顶点为焦点，以C1的焦点为顶点的椭圆记为C2．（1）求C2的方程；（-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线C1的渐近线方程是y=±33x，且它的一条准线与渐近线y=33..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知双曲线C₁的渐近线方程是y=±

3

x，且它的一条准线与渐近线y=

3

x及x轴围成的三角形的周长是

3

2

(1+

3

)．以C₁的两个顶点为焦点，以C₁的焦点为顶点的椭圆记为C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）已知斜率为

1

2

的直线l经过定点P（m，0）（m＞0）并与椭圆C₂交于不同的两点A、B，若对于椭圆C₂上任意一点M，都存在θ∈[0，2π]，使得

OM

=cosθ?

OA

+sinθ?

OB

成立．求实数m的值．

试题来源：吉安二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知双曲线C₁的焦点在x轴上，设C₁的方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)

b

a

=

3

a2

a2+b2

(1+

3

)

+

1+(

3

)2

?

a2

a2+b2

=

3

2

(1+

3

)
解得之：

a=

3

b=1

，
∴双曲线的半焦距c=2，椭圆C₂方程为：

x2

4

+y2=1…（4分）
（2）设点M（x，y）及点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为：x-2y-m=0，
联立方程组

x2

4

+y2=1

x=2y+m

消去x得8y2+4my+m2-4=0…（6分）
判断式△=16m²-32（m²-4）=16（8-m²）＞0
又m＞0∴0＜m＜2

2

y1y2=

(m2-4)

8

x1x2=(2y1+m)(2y2+m)
=4y₁y₂+2m（y₁+y₂）+m²
=

(m2-4)

2

+2m(-

m

2

)+m2=

(m2-4)

2

…（7分）
由

OM

=cosθ?

OA

+sinθ?

OB

，可得

x=x1cosB+x2sinθ

y=y1cosθ+y2sinθ

…（8分）
代入椭圆方程得4=x²+4y²=（x₁cosθ+x₂sinθ）²+4（y₁cosθ+y₂sinθ）²
=（x₁²+4y₁²）cos²θ+（x₂²+4y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）
=4（cos²θ+sin²θ）+sin2θ?（x₁x₂+4y₁y₂）
即得：sin2θ?（x₁x₂+4y₁y₂）=0…（10分）
又∵θ∈[0，2π]的任意性，知：
x1x2+4y1y2=

m2-4

2

+4×

m2-4

8

=m2-4=0
∵m∈(0，2

2

)
∴m=2，即满足条件的实数m的值为2 …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线C1的渐近线方程是y=±33x，且它的一条准线与渐近线y=33..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：