设函数f（x）=lnx+x2+ax（1）若x=12时，f（x）取得极值，求a的值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=lnx+x2+ax（1）若x=12时，f（x）取得极值，求a的值；（2）若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=lnx+x²+ax
（1）若x=

1

2

时，f（x）取得极值，求a的值；
（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f′(x)=

1

x

+2x+a=

2x2+ax+1

x

，
（1）因为 x=

1

2

时，f（x）取得极值，所以 f′(

1

2

)=0，
即2+1+a=0，故a=-3．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．
方程2x²+ax+1=0的判别式△=a²-8，
①当△≤0，即 -2

2

≤a≤2

2

时，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．
②当△＞0，即 a＜-2

2

或 a＞2

2

时，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，
只需在（0，+∞）内有2x²+ax+1≥0即可，
设h（x）=2x²+ax+1，
由

h(0)=1＞0

-

a

2×2

＜0

得a＞0，所以 a＞2

2

．
由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是 [-2

2

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=lnx+x2+ax（1）若x=12时，f（x）取得极值，求a的值；（2）若..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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