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1、试题题目:已知函数f(x)=lnx2-2axe,(a∈R,e为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数f(..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx2-
2ax
e
,(a∈R,e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的递增区间;
(Ⅱ)当a=1时,过点P(0,t)(t∈R)作曲线y=f(x)的两条切线,设两切点为P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))(x1≠x2),求证:x1+x2=0.

  试题来源:河南模拟   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的单调性与导数的关系



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
f′(x)=
2
x
-
2a
e
=
2(e-ax)
ex

当a=0时,由f′(x)=
2
x
>0,解得x>0;
当a>0时,由f′(x)=
2(e-ax)
ex
>0,解得0<x<
e
a

当a<0时,由f′(x)=
2(e-ax)
ex
>0,解得x>0,或x<
e
a

所以当a=0时,函数f(x)的递增区间是(0,+∞);
当a>0时,函数f(x)的递增区间是(0,
e
a
);
当a<0时,函数f(x)的递增区间是(-∞,
e
a
)∪(0,+∞).
(Ⅱ)因为f′(x)=
2
x
-
2
e
=
2(e-x)
ex

所以以p1(x1,f(x1))为切点的切线的斜率为
2(e-x1)
ex1

以p2(x2,f(x2))为切点的切线的斜率为
2(e-x2)
ex2

又因为切线过点p(0,t),
所以t-lnx12+
2x1
e
=
2(e-x1)
ex1
(0-x1)
t-lnx22+
2x2
e
=
2(e-x2)
ex2
(0-x2)

解得,x12=et+2,x22=et+2.则x12=x22
由已知x1≠x2
所以,x1+x2=0.
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx2-2axe,(a∈R,e为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数f(..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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