已知函数f（x）=（ax2+x）ex在[-1，1]上是单调增函数，其中e是自然对数的底数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（ax2+x）ex在[-1，1]上是单调增函数，其中e是自然对..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（ax²+x）e^x在[-1，1]上是单调增函数，其中e是自然对数的底数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由f（x）=（ax²+x）e^x，得
f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；
②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因为△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，
所以g（x）有两个不相等的实数根x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂，
因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）g（0）=-a＜0，
所以f（x）在（-1，1）内有极值点，
故f（x）在[-1，1]上不单调．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，
因为g（0）=1＞0，必须满足

g(1)≥0

g(-1)≥0

，即

3a+2≥0

-a≥0

，所以-

2

3

≤a＜0．
综上可知，a的取值范围是[-

2

3

，0]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（ax2+x）ex在[-1，1]上是单调增函数，其中e是自然对..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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